On restricted min-wise independence of permutations

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F00216208%3A11320%2F03%3A00005529" target="_blank" >RIV/00216208:11320/03:00005529 - isvavai.cz</a>

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

On restricted min-wise independence of permutations

Original language description

A family of permutations $F subseteq S_n$ with a probability distribution on it is called k-restricted min-wise independent if we have $Pr[min pi(X) = pi(x)] = 1/|X|$ for every subset $X subseteq [n]$ with $|X|l.e. k$, every $xin X$, and $piin F$chosen at random. We present a simple proof of a result of Norin: every such family has size at least $binom{n-1}{lceil k-1/2rceil}$. The best available upper bound for the size of such family is $1 + Sum_{j=2}^k (j - 1)binom{n}{j}$. We show that this bound is tight if the goal is to imitate not the uniform distribution on $S_n$, but a distribution given by assigning suitable priorities to the elements of $[n]$. We also investigate the cases where the min-wise independence condition is required only for sets $X$ of size exactly $k$ (where we have only an $Omega(log log n + k)$ lower bound), or for sets of size $k$ and $k - 1$ (where we already obtain a lower bound of $n - k + 2$).

Czech name

O omezené nezávislosti permutací vzhledem k minimům

Czech description

Rodina permutací $F subseteq S_n$ s daným pravděpodobnostním rozdělením se nazývá 'k-restricted min-wise independent', pokud platí $Pr[min pi(X) = pi(x)] = 1/|X|$ pro libovolnou podmnožinu $X subseteq [n]$ splňující $|X| l.e. k$, libovolné $xin X$,a náhodně zvolené $piin F$. Ukážeme jednoduchý důkaz Norinova výsledku, že každá taková rodina má velikost aspoň $binom{n-1}{lceil k-1/2rceil}$. Nejlepší známý dolní odhad na velikost takové rodiny je $1 + Sum_{j=2}^k (j - 1)binom{n}{j}$. Ukážeme,že tento odhad je těsný, pokud je snahou napodobit nikoliv rovnoměrné rozdělení na $S_n$, ale rozdělení určené prioritami prvků $[n]$. Zkoumáme také případy, kdy se podmínka na nezávislost vyžaduje pouze pro množiny $X$ velikosti přesně $k$ (kdy máme pouze dolní odhad $Omega(log log n + k)$) a pro množiny velikosti $k$ a $k - 1$ (kdy získáme dolní odhad $n - k + 2$).

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/LN00A056" target="_blank" >LN00A056: Institute of Theoretical Computer Science (Center of Young Science)</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2003

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Random Structures and Algorithms

ISSN

1042-9832

e-ISSN

—

Volume of the periodical

23

Issue of the periodical within the volume

4

Country of publishing house

US - UNITED STATES

Number of pages

12

Pages from-to

397-408

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—