Universal Quadratic Forms and Class Numbers
Project goals
We will establish a new connection between the multiplicative and additive structures of number fields. This will have important implications, e.g., for 1. universal quadratic forms over (totally real) number fields, estimating their ranks and proving 290-theorems, and 2. class numbers of number fields, determining their precise asymptotic growth in a wide class of families and discovering new techniques for dealing with the class number one problem. We aim at proving the following fundamental hypothesis: For a given number field K, the larger the class number of K is, the fewer indecomposable algebraic integers in K there are, and the smaller the ranks of universal quadratic forms over K are. Methodology is based on a combination of geometric (quadratic lattices), analytic (modular forms, L-functions), and arithmetic (indecomposables, generalized continued fractions) techniques. Despite promising preliminary results over real quadratic fields, further progress will require substantial effort to achieve much needed breakthroughs, starting with the case of cubic fields.
Keywords
number fieldtotally realuniversal quadratic formclass numbergeneralized continued fractionJacobi-Perron algorithmindecomposable algebraic integerquadratic lattice290-theorem
Public support
Provider
Czech Science Foundation
Programme
—
Call for proposals
SGA0202100006
Main participants
Univerzita Karlova / Matematicko-fyzikální fakulta
Contest type
VS - Public tender
Contract ID
21-00420M
Alternative language
Project name in Czech
Univerzální kvadratické formy a třídová čísla
Annotation in Czech
Cílem projektu je vybudovat nové propojení mezi multiplikativní a aditivní strukturou daného číselného tělesa. Toto bude mít zásadními důsledky mj. pro 1. univerzální kvadratické formy nad (totálně reálnými) číselnými tělesy, k odhadu jejich hodnosti a důkazu vět 290; a 2. třídová čísla číselných těles, k určení asymptotiky jejich růstu v široké třídě rodin a k objevu nových technik k problému třídového čísla jedna. Míříme k dokázání následující klíčové hypotézy: Pro dané číselné těleso K, čím větší je třídové číslo K, tím méně je v K nerozložitelných celistvých prvků a tím menší jsou hodnosti univerzálních kvadratických forem nad K. Metodologie je založená na kombinaci geometrických (kvadratické mříže), analytických (modulární formy, L-funkce) a aritmetických (nerozložitelné prvky, zobecněné řetězové zlomky) technik. Navzdory slibným předběžným výsledkům nad reálnými kvadratickými tělesy bude další pokrok vyžadovat velké úsilí k dosažení potřebných průlomů, počínaje případem kubických těles.
Scientific branches
Solution timeline
Realization period - beginning
Jan 1, 2021
Realization period - end
Dec 31, 2025
Project status
K - Ending multi-year project
Latest support payment
Jul 9, 2024
Data delivery to CEP
Confidentiality
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Data delivery code
CEP25-GA0-GM-R
Data delivery date
Feb 21, 2025
Finance
Total approved costs
23,271 thou. CZK
Public financial support
23,271 thou. CZK
Other public sources
0 thou. CZK
Non public and foreign sources
0 thou. CZK
Recognised costs
23 271 CZK thou.
Public support
23 271 CZK thou.
0%
Provider
Czech Science Foundation
OECD FORD
Pure mathematics
Solution period
01. 01. 2021 - 31. 12. 2025