Quadratic forms and numeration systems over number fields
Project goals
We plan to study universal quadratic forms and numeration systems over number fields, and to directly explore links between them. The proposal comprises the following three topics: The first one concerns universal quadratic forms over rings of integers in totally real number fields. Our main goal is to investigate the minimal arity of such forms, extending the recent advances over real quadratic fields obtained via continued fractions also to the case of higher degree fields. In the second topic we will study two major cases of numeration systems: continued fractions and the positional ones. We will mainly focus on the periodic beta-representations using Salem numbers and on the behaviour of continued fractions over general number fields. This is accompanied by study of geometrical properties of spectra of complex Pisot numbers. The final topic directly concerns the arithmetic of number fields. We plan to study the structure of additively indecomposable integers, numeration systems based on units, and, in the case of real quadratic fields, also the growth of class numbers.
Keywords
number fielduniversal quadratic formcontinued fractionbeta-representationadditively indecomposable integerPisot numberSalem numberalgebraic unit
Public support
Provider
Czech Science Foundation
Programme
Junior Grants
Call for proposals
Juniorské granty 3 (SGA0201700002)
Main participants
Univerzita Karlova / Matematicko-fyzikální fakulta
Contest type
VS - Public tender
Contract ID
17-04703Y
Alternative language
Project name in Czech
Kvadratické formy a numerační systémy nad číselnými tělesy
Annotation in Czech
Plánujeme studovat univerzální kvadratické formy a numerační systémy nad číselnými tělesy a zkoumat jejich souvislosti. Návrh sestává z následujících tři oblastí: První z nich se zabývá univerzálními kvadratickými formami nad okruhy celých čísel v totálně reálných tělesech. Náš hlavní cíl je zkoumat minimální aritu takových forem a rozšířit nedávné výsledky nad reálnými kvadratickými tělesy, získané pomocí řetězových zlomků, na případ těles vyššího stupně. Ve druhém tématu budeme studovat dva hlavní typy numeračních systémů: řetězové zlomky a poziční soustavy. Zejména se zaměříme na periodické beta-reprezentace pomocí Salemových čísel a na chování řetězových zlomků nad obecnými číselnými tělesy. Toto doprovodíme studiem geometrických vlastností spekter komplexních Pisotových čísel. V závěrečném tématu přímo prozkoumáme aritmetiku číselných těles. Plánujeme studovat strukturu aditivně nerozložitelných prvků, numerační systémy založené na jednotkách a, v případě reálných kvadratických těles, také růst třídových čísel.
Scientific branches
Completed project evaluation
Provider evaluation
V - Vynikající výsledky projektu (s mezinárodním významem atd.)
Project results evaluation
The output of this junior project is very satisfactory. The team produced more than the predicted 3 papers per year (with some submitted ones potentially to be added to this count), collaborated and published intensely with researchers from abroad, prepared succesfully doctoral and master's students to add their research team in the future.
Solution timeline
Realization period - beginning
Jan 1, 2017
Realization period - end
Dec 31, 2019
Project status
U - Finished project
Latest support payment
Apr 3, 2019
Data delivery to CEP
Confidentiality
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Data delivery code
CEP20-GA0-GJ-U/04:1
Data delivery date
Jul 23, 2020
Finance
Total approved costs
6,484 thou. CZK
Public financial support
6,484 thou. CZK
Other public sources
0 thou. CZK
Non public and foreign sources
0 thou. CZK
Basic information
Recognised costs
6 484 CZK thou.
Public support
6 484 CZK thou.
100%
Provider
Czech Science Foundation
CEP
BA - General mathematics
Solution period
01. 01. 2017 - 31. 12. 2019