A classification of triangular maps of the square

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F47813059%3A19610%2F06%3A%230000097" target="_blank" >RIV/47813059:19610/06:#0000097 - isvavai.cz</a>

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

A classification of triangular maps of the square

Original language description

It is well-known that, for a continuous map $varphi$ of the interval, the condition {P1} $varphi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: { P2} any $omega $-limit set contains a unique minimal set; { P3} the periodof any cycle of $varphi$ is a power of two; { P4} any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; {P5} if $omega _varphi(xi)=omega_{varphi^2}(xi)$, then $omega_varphi (xi)$ is a fixed point; {P6} $varphi $ has no homoclinic trajectory; {P7} there is no countably infinite $omega$-limit set; {P8} trajectories of any two points are correlated; {P9} there is no closed invariant subset $A$ such that $varphi ^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift, for some $mge 1$. In the paper we exhibit the relations between these properties in the class $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of triangular maps of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.

Czech name

Klasifikace trojúhelníkových zobrazení na čtverci

Czech description

Je známo, že pro spojitá zobrazení $varphi$ na intervalu je podmínka P1 $varphi$ má nulovou topologickou entropii, ekvivalentní s každou z následujících: P2 každá $omega$-limitní množina obsahuje jedinou minimální množinu; P3 perioda každého cyklu jemocnina dvou; P4 každá $omega$-limitní množina je cyklus nebo žádný cyklus neobsahuje; P5 jestliže $omega_varphi(xi)=omega_{varphi^2}(xi)$, pak $omega_varphi (xi)$ je pevný bod; P6 $varphi$ nemá žádné homoklinické trajektorie; P7 neexistují žádné nekonečné spočetné $omega$-limitní množiny; P8 trajektorie každých dvou bodů jsou korelované; P9 neexistuje žádná uzavřená invariantní podmnožina $A$ taková, aby pro nějaké přirozené číslo $m$ bylo zobrazení $varphi ^m|A$ topologicky skoro konjugované s shiftem. V tomto článku ukazujeme vztahy mezi těmito vlastnostmi pro třídu $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ trojúhelníkových zobrazení na čtverci. Tento výsledek přispívá k vyřešení dlouhotrvajícího otevřeného Sharkovského problému.

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/GA201%2F03%2F1153" target="_blank" >GA201/03/1153: Dynamical systems II.</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2006

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Acta Mathematica Universitatis Comenianae

ISSN

0862-9544

e-ISSN

—

Volume of the periodical

75

Issue of the periodical within the volume

2

Country of publishing house

SK - SLOVAKIA

Number of pages

12

Pages from-to

241-252

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—