On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F47813059%3A19610%2F07%3A%230000197" target="_blank" >RIV/47813059:19610/07:#0000197 - isvavai.cz</a>

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps

Original language description

It is well-known that, for a continuous map $f$ of the interval, the condition that $fi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: trajectory of any point can be both strongly and weakly approximated by trajectories of closed connected periodic sets; any $omega$-limit set contains a unique minimal set; the period of any cycle of $varphi$ is a power of two; any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; if $omega_f(z)=omega_{f^2}(z)$, then $omega_f(z)$ is a fixed point; $f$ has no homoclinic trajectory; there is no countably infinite $omega$-limit set; trajectories of any two points are correlated; there are no closed invariant subset $A$ and $minmathbb{N}$ such that $f^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift. We exhibit relations between these properties in the class of triangular maps $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.

Czech name

Sharkovského problém klasifikace trojúhelníkových zobrazení

Czech description

Je známo, že pro spojitá zobrazení $f$ na intervalu je podmínka, že $f$ má nulovou topologickou entropii, ekvivalentní s každou z následujících: trajektorie každého bodu může být silně (resp. slabě) aproximovaná trajektoriemi uzavřených souvislých periodických množin; každá $omega$-limitní množina obsahuje jedinou minimální množinu; perioda každého cyklu je mocnina dvou; každá $omega$-limitní množina je cyklus nebo cyklus neobsahuje; jestliže $omega_f(z)=omega_{f^2}(f)$, pak $omega_f(z)$ je pevný bod; $f$ nemá homoklinické trajektorie; neexistují nekonečné spočetné $omega$-limitní množiny; trajektorie každých dvou bodů jsou korelované; neexistuje uzavřená invariantní podmnožina $A$ taková, aby pro nějaké $minMathbb{N}$ bylo zobrazení $f^m|A$ topologicky skoro konjugované s shiftem. V článku ukazujeme vztahy mezi těmito vlastnostmi pro třídu $(x,y) mapsto (f(x),g_x(y))$ trojúhelníkových zobrazení. Výsledek přispívá k vyřešení dlouhotrvajícího otevřeného Sharkovského problému.

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/GD201%2F03%2FH152" target="_blank" >GD201/03/H152: Topological and analytical methods in the theory of dynamical systems and mathematical physics</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2007

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Grazer Mathematische Berichte

ISSN

1016-7692

e-ISSN

—

Volume of the periodical

2007

Issue of the periodical within the volume

351

Country of publishing house

AT - AUSTRIA

Number of pages

9

Pages from-to

91-99

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—