On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps
Result description
It is well-known that, for a continuous map $f$ of the interval, the condition that $fi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: trajectory of any point can be both strongly and weakly approximated by trajectories of closed connected periodic sets; any $omega$-limit set contains a unique minimal set; the period of any cycle of $varphi$ is a power of two; any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; if $omega_f(z)=omega_{f^2}(z)$, then $omega_f(z)$ is a fixed point; $f$ has no homoclinic trajectory; there is no countably infinite $omega$-limit set; trajectories of any two points are correlated; there are no closed invariant subset $A$ and $minmathbb{N}$ such that $f^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift. We exhibit relations between these properties in the class of triangular maps $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.
Keywords
triangular mapapproximation of trajectorytopological entropyminimal set
The result's identifiers
Result code in IS VaVaI
Result on the web
—
DOI - Digital Object Identifier
—
Alternative languages
Result language
angličtina
Original language name
On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps
Original language description
It is well-known that, for a continuous map $f$ of the interval, the condition that $fi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: trajectory of any point can be both strongly and weakly approximated by trajectories of closed connected periodic sets; any $omega$-limit set contains a unique minimal set; the period of any cycle of $varphi$ is a power of two; any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; if $omega_f(z)=omega_{f^2}(z)$, then $omega_f(z)$ is a fixed point; $f$ has no homoclinic trajectory; there is no countably infinite $omega$-limit set; trajectories of any two points are correlated; there are no closed invariant subset $A$ and $minmathbb{N}$ such that $f^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift. We exhibit relations between these properties in the class of triangular maps $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.
Czech name
Sharkovského problém klasifikace trojúhelníkových zobrazení
Czech description
Je známo, že pro spojitá zobrazení $f$ na intervalu je podmínka, že $f$ má nulovou topologickou entropii, ekvivalentní s každou z následujících: trajektorie každého bodu může být silně (resp. slabě) aproximovaná trajektoriemi uzavřených souvislých periodických množin; každá $omega$-limitní množina obsahuje jedinou minimální množinu; perioda každého cyklu je mocnina dvou; každá $omega$-limitní množina je cyklus nebo cyklus neobsahuje; jestliže $omega_f(z)=omega_{f^2}(f)$, pak $omega_f(z)$ je pevný bod; $f$ nemá homoklinické trajektorie; neexistují nekonečné spočetné $omega$-limitní množiny; trajektorie každých dvou bodů jsou korelované; neexistuje uzavřená invariantní podmnožina $A$ taková, aby pro nějaké $minMathbb{N}$ bylo zobrazení $f^m|A$ topologicky skoro konjugované s shiftem. V článku ukazujeme vztahy mezi těmito vlastnostmi pro třídu $(x,y) mapsto (f(x),g_x(y))$ trojúhelníkových zobrazení. Výsledek přispívá k vyřešení dlouhotrvajícího otevřeného Sharkovského problému.
Classification
Type
Jx - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)
CEP classification
BA - General mathematics
OECD FORD branch
—
Result continuities
Project
Continuities
P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)
Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)
Others
Publication year
2007
Confidentiality
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Data specific for result type
Name of the periodical
Grazer Mathematische Berichte
ISSN
1016-7692
e-ISSN
—
Volume of the periodical
2007
Issue of the periodical within the volume
351
Country of publishing house
AT - AUSTRIA
Number of pages
9
Pages from-to
91-99
UT code for WoS article
—
EID of the result in the Scopus database
—
Basic information
Result type
Jx - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)
CEP
BA - General mathematics
Year of implementation
2007