Minimal and $omega$-minimal sets of functions with connected $Gsb delta$ graphs

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F47813059%3A19610%2F07%3A%230000194" target="_blank" >RIV/47813059:19610/07:#0000194 - isvavai.cz</a>

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

Minimal and $omega$-minimal sets of functions with connected $Gsb delta$ graphs

Original language description

Let $I=[0,1]$, and let $mathcal J$ be the class of functions $I rightarrow I$ with connected $G_{delta}$ graph. Recently it was shown that for dynamical systems generated by maps in $mathcal J$ , the Sharkovsky's theorem is true, and a map has zero topological entropy if and only if every periodic point has period $2^{n}$, for an integer $nge 0$. In this paper we consider, for a map $f$ in $mathcal J$, properties of $omega$-minimal sets, i.e., sets $Msubset I$ such that the $omega$-limit set $omega_{f }(x)$ is $M$, for every $x in M$. If $f $ is continuous then, as is well-known, $M$ is $omega$-minimal if and only if $M$ is non-empty, closed, $f (M) subseteq M$, any point in $M$ is uniformly recurrent, and no proper subset of $M$ has theseproperties. In this paper we prove that the same is true for $finmathcal J$ with zero topological entropy, but not for an arbitrary $finmathcal J$.

Czech name

Minimální a omega-minimální množiny funkcí se souvislým G-delta grafem

Czech description

Nechť $I=[0,1]$ a nechť $mathcal J$ je třída funkcí se souvislým $G_{delta}$ grafem. Nedávno bylo pro dynamické systémy generované funkcemi z $mathcal J$ ukázáno, že platí Šarkovského věta a že tato zobrazení mají nulovou topologickou entropii tehdy ajen tehdy, jestliže každý periodický bod má periodu $2^n$ pro nějaké přirozené $n ge 0$. V tomto článku pro funkci $f$ z $mathcal J$ uvažujeme $omega$-minimální množiny, tj. množiny $Msubset I$ takové, že $omega$-limitní množina $omega_f (x)$ je $M$ pro každé $x in M$. Jestliže je $f$ spojitá, $M$ je $omega$-minimální tehdy a jen tehdy, jestliže neprázdná, uzavřená, $f(M)subseteq M$, každý bod v $M$ je uniformně rekurentní a žádná vlastní podmnožina $M$ nemá tyto vlastnosti. V článku je ukázáno, že toto platí i pro funkce $varhpi in mathcal J$ s nulovou topologickou entropií, ale ne pro libovolné $f inmathcal J$.

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/GD201%2F03%2FH152" target="_blank" >GD201/03/H152: Topological and analytical methods in the theory of dynamical systems and mathematical physics</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2007

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Real Analysis Exchange

ISSN

0147-1937

e-ISSN

—

Volume of the periodical

32

Issue of the periodical within the volume

2

Country of publishing house

US - UNITED STATES

Number of pages

12

Pages from-to

397-408

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—