Characterization of alpha-limit sets for continuous maps of the interval

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F47813059%3A19610%2F04%3A00010603" target="_blank" >RIV/47813059:19610/04:00010603 - isvavai.cz</a>

Alternative codes found

RIV/47813059:19610/04:00011750

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

Characterization of alpha-limit sets for continuous maps of the interval

Original language description

For a continuous map $f$ of the interval $I$, a set $Wsubset I$ is an {it $alpha$-limit set} if $W$ is the set of limit points of a sequence ${ x_n} _{n=0}^infty$ in $I$ such that, for any $n$, $f(x_{n+1})=x_n$. Denote by $alpha (f)$ the system of$alpha$-limit sets. We prove the following main results. (i) Any minimal set belongs to $alpha (f)$. (ii) Any $alpha$-limit set is an $omega$-limit set which is either minimal, or is contained in a basic set. (iii) If $f$ has zero topological entropy then $alpha (f)$ is the system of minimal sets. (iv) Any $omega$-limit set contained in a basic set is an $alpha$-limit set. (v) The set $alpha (f)$ need not be closed in the Hausdorff metric; in contrast to this, it is known that the system of $omega$-limit sets is compact in the Hausdorff metric. (vi) If $f$ has zero topological entropy then $alpha (f)$ is closed in the Hausdorff metric if and only if the set ${rm Rec}(f)$ of recurrent points of $f$ is closed in the standard m

Czech name

O alfa-limitních množinách spojitých zobrazení intervalu

Czech description

Pro spojité zobrazení $f$ intervalu $I$, množina $Wsubset I$ je {it $alpha$-limitní množina} když $W$ je množinou limitních bodů posloupnosti ${ x_n} _{n=0}^infty$ v $I$ takové, že pro každé $n$, $f(x_{n+1})=x_n$. Označme $alpha (f)$ systém všech$alpha$-limitních množin. Hlavní výsledky. (i) Každá minimální množina patří do $alpha (f)$. (ii) Každá $alpha$-limitní množina je $omega$-limitní množinou, ketrá je minimální nebo patří do nějaké bázické množiny. (iii) Když $f$ má nulovou topologickou entropii tak $alpha (f)$ je systém všech minimálních množin. (iv) Každá $omega$-limitní množina obsažená v nějaké bázické množině je $alpha$-limitní množinou. (v) Množina $alpha (f)$ nemusí být uzavřená v Hausdorffově metrice. (vi) Když $f$ má nulovou topologickou entropii tak $alpha (f)$ je uzavřená v Hausdorffově metrice právě když množina ${rm Rec}(f)$ všech rekurentních bodů funkce $f$ je uzavřená ve standardní metrice v $I$. (vii) Kompaktní množina $Wsubset I$ je $alpha$-

Type

D - Article in proceedings

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/GA201%2F03%2F1153" target="_blank" >GA201/03/1153: Dynamical systems II.</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2004

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Article name in the collection

Real Analysis Exchange 27th Summer Symposium Conference reports

ISBN

ISSN0147-1937

ISSN

—

e-ISSN

—

Number of pages

2

Pages from-to

181-182

Publisher name

Michigan State University

Place of publication

Michigan

Event location

Opava

Event date

Jun 23, 2003

Type of event by nationality

WRD - Celosvětová akce

UT code for WoS article

—