On some properties of interval maps with zero topological entropy

Result code in IS VaVaI

<a href="https://www.isvavai.cz/riv?ss=detail&h=RIV%2F47813059%3A19610%2F08%3A%230000219" target="_blank" >RIV/47813059:19610/08:#0000219 - isvavai.cz</a>

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

On some properties of interval maps with zero topological entropy

Original language description

We consider the following six properties of continuous maps of the compact interval: (i) $f$ has zero topological entropy; (ii) $Rec (f)$ is an $F_sigma$ set; (iii) $f$ is Lyapunov stable on $Per(f)$; (iv) for any $varepsilon > 0$, any infinite $omega$-limit set of $f$ has a cover consisting of disjoint compact periodic intervals with length less than $varepsilon$; (v) $Per (f)$ is a $G_delta$ set; (vi) every linearly ordered chain of $omega$-limit sets is countable. Some of these properties were basically studied in the sixties by A. N. Sharkovsky, and they were believed to be equivalent. But recently several authors have provided counterexamples. In this paper we complete these results, solve some open problems and disprove a recent conjecture. Thus, we show that (iv) $Rightarrow$ (iii) $Rightarrow$ (ii) $Rightarrow$ (i), (iv) $Rightarrow$ (vi) $Rightarrow$ (i), and (v) $Rightarrow$ (i), and that there is no other implication between these properties.

Czech name

O některých vlastnostech zobrazení intervalu s nulovou topologickou entropií

Czech description

Uvažujeme následujících šest vlastností spojitých zobrazení kompaktního intervalu: (i) $f$ má nulovou topologickou entropii; (ii) $Rec (f)$ je typu $F_sigma$; (iii) $f$ je Lyapunovsky stabilní na $Per(f)$; (iv) pro libovolné $varepsilon > 0$ libovolná $omega$-limitní množina zobrazení $f$ má pokrytí sestávající se z disjunktních kompaktních periodických intervalů délky menší než $varepsilon$; (v) $Per (f)$ je typu $G_delta$; (vi) každý lineárně uspořádaný řetězec $omega$-limitních množin je spočetný. Některé z těchto vlastností byly původně studovány v šedesátých letech A. N. Sharkovskym a byly považovány za ekvivalentní. V poslední době však někteří autoři zkonstruovali protipříklady. V tomto článku shrneme tyto výsledky, vyřešíme otevřené problémy a vyvrátíme poslední hypotézu. Tedy, ukážeme, že (iv) $Rightarrow$ (iii) $Rightarrow$ (ii) $Rightarrow$ (i), (iv) $Rightarrow$ (vi) $Rightarrow$ (i), (v) $Rightarrow$ (i) a že neplatí žádná jiná implikace mezi těmito vlastnos

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

<a href="/en/project/GA201%2F06%2F0318" target="_blank" >GA201/06/0318: Dynamical Systems III</a><br>

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)<br>Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2008

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Aequationes Mathematicae

ISSN

0001-9054

e-ISSN

—

Volume of the periodical

76

Issue of the periodical within the volume

3

Country of publishing house

CH - SWITZERLAND

Number of pages

10

Pages from-to

—

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—