Dynamical systems generated by functions with connected $G_delta$ graphs

Result code in IS VaVaI

RIV/47813059:19610/05:#0000033 - isvavai.cz

Alternative codes found

RIV/47813059:19610/06:#0000092

Result on the web

—

DOI - Digital Object Identifier

—

Result language

angličtina

Original language name

Dynamical systems generated by functions with connected $G_delta$ graphs

Original language description

In 2001, Cs" ornyei, O'Neil and Preiss proved that the composition of any two Darboux Baire-1 functions $[0,1]rightarrow[0,1]$ possesses a fixed point, solving a long-standing open problem. In 2004 Szuca proved that this result can be generalized to any $f$ in the class $mathcal J$ of functions $[0,1]rightarrow [0,1]$ with connected $G_delta$ graph. As a consequence, he proved that for such functions the Sharkovsky theorem is satisfied. As the main result of this paper we prove that similarly as for the continuous maps of the interval, any $f$ in $mathcal J$ has positive topological entropy if and only if it has a periodic point of period different from $2^n$, for any $ninmathbb N$. To do this we show that using the Bowen's approach it is possible to define topological entropy for discontinuous maps of a compact metric space with almost all standard properties. In particular, the variational principle is true, and consequently, topological e ntropy is supported by the set of re

Czech name

Dynamické systémy generované funkcemi se souvislěm $G_delta$ grafem

Czech description

Mějme libovolné dvě funkce z intervalu $[0,1]$ do intervalu $[0,1]$ s Darbouxovou vlastností ze třídy Baire-1. V roce 2001, Cs" ornyei, O'Neil a Preiss dokázali, že složením těchto dvou funkcí vznikne zobrazení, které má pevný bod. Tuto vlastnost zobecnil v roce 2004 P. Szuca pro zobrazení ze třídy $mathcal J$ funkcí na intervalu za souvislým $G_delta$ grafem. Následkem toho ukázal, že takovéto funkce splňují Sharkovského větu. V tomto článku je ukázáno, že podobně jako pro spojité funkce na intervalu, funkce $f$ ze třídy $mathcal J$ má pozitivní topologickou entropii tehdy a jen tehdy, jestliže $f$ má periodický bod periody různé od mocniny $2$. Pomocí Bowenovy definice topologické entropie je možné tento pojem definovat i pro nespojité funkce nakompaktním metrickém prostoru s téměř všemi standardními vlastnostmi. Zejména, že topologická entropie funkce $f$ je dána množinou rekurent ních bodů.

Type

J_x - Unclassified - Peer-reviewed scientific article (Jimp, Jsc and Jost)

CEP classification

BA - General mathematics

OECD FORD branch

—

Project

GA201/03/1153: Dynamical systems II.

Continuities

P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)
Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)

Publication year

2005

Confidentiality

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Name of the periodical

Real Analysis Exchange

ISSN

0147-1937

e-ISSN

—

Volume of the periodical

30

Issue of the periodical within the volume

2

Country of publishing house

US - UNITED STATES

Number of pages

21

Pages from-to

617-637

UT code for WoS article

—

EID of the result in the Scopus database

—