Modifikovaný Gram-Schmidtův algoritmus, úloha nejmenších čtverců a zpětná stabilita metody GMRES
Popis výsledku
Metodu zobecněných minimálních reziduí (GMRES) [Y. Saad a M.Schultz, SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869] pro řešení nesymetrických soustav lineárních rovnic Ax=b lze interpretovat jako posloupnost problémů nejmenších čtverců na Krylovovských prostorech s rostoucí dimenzí. Nejpoužívanější implementace metody MGS-GMRES používá na výpočet bazí těchto prostorů Modifikovaný Gram-Schmidtův ortogonalizační proces (MGS). V této publikaci je ukázáno, že implementace MGS=GMRES je zpětně stabilním algoritmem. Tento výsledek vyplývá z obecnějšího výsledku o zpětné stabilitě varianty algoritmu MGS aplikované na problém nejmenších čtverců a využívá další nové poznatky o ztrátě ortogonality v MGS, nově zavedeném čísle podmíněnosti a vztahu mezi normou rezidua a některými singulárními čísly.
Klíčová slova
rounding error analysismodified Gram-SchmidtQR factorizationloss of orthogonalityleast squaressingular valuesbackward stabilitylinear equationscondition numberslarge sparse matricesiterative solutionKrylov subspace methodsArnoldimethodgeneralized minimum residual method
Identifikátory výsledku
Kód výsledku v IS VaVaI
Nalezeny alternativní kódy
RIV/00216208:11320/06:00002811
Výsledek na webu
—
DOI - Digital Object Identifier
—
Alternativní jazyky
Jazyk výsledku
angličtina
Název v původním jazyce
Modified Gram-Schmidt (MGS), Least Squares, and Backward Stability of MGS-GMRES
Popis výsledku v původním jazyce
The generalized minimum residual method (GMRES) [Y. Saad and M. Schultz,SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869] for solving linear systems Ax=b is implemented as a sequence of least squares problems involving Krylov subspaces of increasingdimensions. The most usual implementation is modified Gram-Schmidt GMRES (MGS-GMRES). Here we show that MGS-GMRES is backward stable. The result depends on a more general result on the backward stability of a variant of the MGS algorithm applied to solving a linear least squares problem, and uses other new results on MGS and its loss of orthogonality, together with an important but neglected condition number, and a relation between residual norms and certain singular values.
Název v anglickém jazyce
Modified Gram-Schmidt (MGS), Least Squares, and Backward Stability of MGS-GMRES
Popis výsledku anglicky
The generalized minimum residual method (GMRES) [Y. Saad and M. Schultz,SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869] for solving linear systems Ax=b is implemented as a sequence of least squares problems involving Krylov subspaces of increasingdimensions. The most usual implementation is modified Gram-Schmidt GMRES (MGS-GMRES). Here we show that MGS-GMRES is backward stable. The result depends on a more general result on the backward stability of a variant of the MGS algorithm applied to solving a linear least squares problem, and uses other new results on MGS and its loss of orthogonality, together with an important but neglected condition number, and a relation between residual norms and certain singular values.
Klasifikace
Druh
Jx - Nezařazeno - Článek v odborném periodiku (Jimp, Jsc a Jost)
CEP obor
BA - Obecná matematika
OECD FORD obor
—
Návaznosti výsledku
Projekt
Návaznosti
P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)
Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)
Ostatní
Rok uplatnění
2006
Kód důvěrnosti údajů
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Údaje specifické pro druh výsledku
Název periodika
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
ISSN
0895-4798
e-ISSN
—
Svazek periodika
28
Číslo periodika v rámci svazku
1
Stát vydavatele periodika
US - Spojené státy americké
Počet stran výsledku
21
Strana od-do
264-284
Kód UT WoS článku
—
EID výsledku v databázi Scopus
—
Základní informace
Druh výsledku
Jx - Nezařazeno - Článek v odborném periodiku (Jimp, Jsc a Jost)
CEP
BA - Obecná matematika
Rok uplatnění
2006