Univerzální kvadratické formy a třídová čísla
Cíle projektu
Cílem projektu je vybudovat nové propojení mezi multiplikativní a aditivní strukturou daného číselného tělesa. Toto bude mít zásadními důsledky mj. pro 1. univerzální kvadratické formy nad (totálně reálnými) číselnými tělesy, k odhadu jejich hodnosti a důkazu vět 290; a 2. třídová čísla číselných těles, k určení asymptotiky jejich růstu v široké třídě rodin a k objevu nových technik k problému třídového čísla jedna. Míříme k dokázání následující klíčové hypotézy: Pro dané číselné těleso K, čím větší je třídové číslo K, tím méně je v K nerozložitelných celistvých prvků a tím menší jsou hodnosti univerzálních kvadratických forem nad K. Metodologie je založená na kombinaci geometrických (kvadratické mříže), analytických (modulární formy, L-funkce) a aritmetických (nerozložitelné prvky, zobecněné řetězové zlomky) technik. Navzdory slibným předběžným výsledkům nad reálnými kvadratickými tělesy bude další pokrok vyžadovat velké úsilí k dosažení potřebných průlomů, počínaje případem kubických těles.
Klíčová slova
number fieldtotally realuniversal quadratic formclass numbergeneralized continued fractionJacobi-Perron algorithmindecomposable algebraic integerquadratic lattice290-theorem
Veřejná podpora
Poskytovatel
Grantová agentura České republiky
Program
JUNIOR STAR
Veřejná soutěž
SGA0202100006
Hlavní účastníci
Univerzita Karlova / Matematicko-fyzikální fakulta
Druh soutěže
VS - Veřejná soutěž
Číslo smlouvy
21-00420M
Alternativní jazyk
Název projektu anglicky
Universal Quadratic Forms and Class Numbers
Anotace anglicky
We will establish a new connection between the multiplicative and additive structures of number fields. This will have important implications, e.g., for 1. universal quadratic forms over (totally real) number fields, estimating their ranks and proving 290-theorems, and 2. class numbers of number fields, determining their precise asymptotic growth in a wide class of families and discovering new techniques for dealing with the class number one problem. We aim at proving the following fundamental hypothesis: For a given number field K, the larger the class number of K is, the fewer indecomposable algebraic integers in K there are, and the smaller the ranks of universal quadratic forms over K are. Methodology is based on a combination of geometric (quadratic lattices), analytic (modular forms, L-functions), and arithmetic (indecomposables, generalized continued fractions) techniques. Despite promising preliminary results over real quadratic fields, further progress will require substantial effort to achieve much needed breakthroughs, starting with the case of cubic fields.
Vědní obory
Kategorie VaV
ZV - Základní výzkum
OECD FORD - hlavní obor
10101 - Pure mathematics
OECD FORD - vedlejší obor
—
OECD FORD - další vedlejší obor
—
CEP - odpovídající obory
(dle převodníku)BA - Obecná matematika
Termíny řešení
Zahájení řešení
1. 1. 2021
Ukončení řešení
31. 12. 2025
Poslední stav řešení
K - Končící víceletý projekt
Poslední uvolnění podpory
9. 7. 2024
Dodání dat do CEP
Důvěrnost údajů
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Systémové označení dodávky dat
CEP25-GA0-GM-R
Datum dodání záznamu
21. 2. 2025
Finance
Celkové uznané náklady
23 271 tis. Kč
Výše podpory ze státního rozpočtu
23 271 tis. Kč
Ostatní veřejné zdroje financování
0 tis. Kč
Neveřejné tuz. a zahr. zdroje finan.
0 tis. Kč
Základní informace
Uznané náklady
23 271 tis. Kč
Statní podpora
23 271 tis. Kč
100%
Poskytovatel
Grantová agentura České republiky
OECD FORD
Pure mathematics
Doba řešení
01. 01. 2021 - 31. 12. 2025