Sharkovského problém klasifikace trojúhelníkových zobrazení
Popis výsledku
Je známo, že pro spojitá zobrazení $f$ na intervalu je podmínka, že $f$ má nulovou topologickou entropii, ekvivalentní s každou z následujících: trajektorie každého bodu může být silně (resp. slabě) aproximovaná trajektoriemi uzavřených souvislých periodických množin; každá $omega$-limitní množina obsahuje jedinou minimální množinu; perioda každého cyklu je mocnina dvou; každá $omega$-limitní množina je cyklus nebo cyklus neobsahuje; jestliže $omega_f(z)=omega_{f^2}(f)$, pak $omega_f(z)$ je pevný bod; $f$ nemá homoklinické trajektorie; neexistují nekonečné spočetné $omega$-limitní množiny; trajektorie každých dvou bodů jsou korelované; neexistuje uzavřená invariantní podmnožina $A$ taková, aby pro nějaké $minMathbb{N}$ bylo zobrazení $f^m|A$ topologicky skoro konjugované s shiftem. V článku ukazujeme vztahy mezi těmito vlastnostmi pro třídu $(x,y) mapsto (f(x),g_x(y))$ trojúhelníkových zobrazení. Výsledek přispívá k vyřešení dlouhotrvajícího otevřeného Sharkovského problému.
Klíčová slova
triangular mapapproximation of trajectorytopological entropyminimal set
Identifikátory výsledku
Kód výsledku v IS VaVaI
Výsledek na webu
—
DOI - Digital Object Identifier
—
Alternativní jazyky
Jazyk výsledku
angličtina
Název v původním jazyce
On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps
Popis výsledku v původním jazyce
It is well-known that, for a continuous map $f$ of the interval, the condition that $fi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: trajectory of any point can be both strongly and weakly approximated by trajectories of closed connected periodic sets; any $omega$-limit set contains a unique minimal set; the period of any cycle of $varphi$ is a power of two; any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; if $omega_f(z)=omega_{f^2}(z)$, then $omega_f(z)$ is a fixed point; $f$ has no homoclinic trajectory; there is no countably infinite $omega$-limit set; trajectories of any two points are correlated; there are no closed invariant subset $A$ and $minmathbb{N}$ such that $f^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift. We exhibit relations between these properties in the class of triangular maps $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.
Název v anglickém jazyce
On a problem of Sharkovsky concerning the classification of triangular maps
Popis výsledku anglicky
It is well-known that, for a continuous map $f$ of the interval, the condition that $fi$ has zero topological entropy, is equivalent, e.g., to any of the following: trajectory of any point can be both strongly and weakly approximated by trajectories of closed connected periodic sets; any $omega$-limit set contains a unique minimal set; the period of any cycle of $varphi$ is a power of two; any $omega$-limit set either is a cycle or contains no cycle; if $omega_f(z)=omega_{f^2}(z)$, then $omega_f(z)$ is a fixed point; $f$ has no homoclinic trajectory; there is no countably infinite $omega$-limit set; trajectories of any two points are correlated; there are no closed invariant subset $A$ and $minmathbb{N}$ such that $f^m|A$ is topologically almost conjugate to the shift. We exhibit relations between these properties in the class of triangular maps $(x,y)mapsto (f(x),g_x(y))$ of the square. This contributes to the solution of a longstanding open problem of Sharkovsky.
Klasifikace
Druh
Jx - Nezařazeno - Článek v odborném periodiku (Jimp, Jsc a Jost)
CEP obor
BA - Obecná matematika
OECD FORD obor
—
Návaznosti výsledku
Projekt
GD201/03/H152: Topologické a analytické metody v teorii dynamických systémů a matematické fyziky
Návaznosti
P - Projekt vyzkumu a vyvoje financovany z verejnych zdroju (s odkazem do CEP)
Z - Vyzkumny zamer (s odkazem do CEZ)
Ostatní
Rok uplatnění
2007
Kód důvěrnosti údajů
S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů
Údaje specifické pro druh výsledku
Název periodika
Grazer Mathematische Berichte
ISSN
1016-7692
e-ISSN
—
Svazek periodika
2007
Číslo periodika v rámci svazku
351
Stát vydavatele periodika
AT - Rakouská republika
Počet stran výsledku
9
Strana od-do
91-99
Kód UT WoS článku
—
EID výsledku v databázi Scopus
—
Druh výsledku
Jx - Nezařazeno - Článek v odborném periodiku (Jimp, Jsc a Jost)
CEP
BA - Obecná matematika
Rok uplatnění
2007