A continuous analogue of Erdős' k-Sperner theorem

Kód výsledku v IS VaVaI

RIV/67985840:_____/20:00517694 - isvavai.cz

Nalezeny alternativní kódy

RIV/00216208:11320/20:10422171

Výsledek na webu

https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123754

DOI - Digital Object Identifier

10.1016/j.jmaa.2019.123754

Jazyk výsledku

angličtina

Název v původním jazyce

A continuous analogue of Erdős' k-Sperner theorem

Popis výsledku v původním jazyce

A chain in the unit n-cube is a set C⊂[0,1]n such that for every x=(x1,…,xn) and y=(y1,…,yn) in C we either have xi≤yi for all i∈[n], or xi≥yi for all i∈[n]. We show that the 1-dimensional Hausdorff measure of a chain in the unit n-cube is at most n, and that the bound is sharp. Given this result, we consider the problem of maximising the n-dimensional Lebesgue measure of a measurable set A⊂[0,1]n subject to the constraint that it satisfies H1(A∩C)≤κ for all chains C⊂[0,1]n, where κ is a fixed real number from the interval (0,n]. We show that the measure of A is not larger than the measure of the following optimal set: Aκ⁎={(x1,…,xn)∈[0,1]n:n−κ2≤∑i=1nxi≤n+κ2}. Our result may be seen as a continuous counterpart to a theorem of Erdős, regarding k-Sperner families of finite sets.

Název v anglickém jazyce

A continuous analogue of Erdős' k-Sperner theorem

Popis výsledku anglicky

A chain in the unit n-cube is a set C⊂[0,1]n such that for every x=(x1,…,xn) and y=(y1,…,yn) in C we either have xi≤yi for all i∈[n], or xi≥yi for all i∈[n]. We show that the 1-dimensional Hausdorff measure of a chain in the unit n-cube is at most n, and that the bound is sharp. Given this result, we consider the problem of maximising the n-dimensional Lebesgue measure of a measurable set A⊂[0,1]n subject to the constraint that it satisfies H1(A∩C)≤κ for all chains C⊂[0,1]n, where κ is a fixed real number from the interval (0,n]. We show that the measure of A is not larger than the measure of the following optimal set: Aκ⁎={(x1,…,xn)∈[0,1]n:n−κ2≤∑i=1nxi≤n+κ2}. Our result may be seen as a continuous counterpart to a theorem of Erdős, regarding k-Sperner families of finite sets.

Druh

J_imp - Článek v periodiku v databázi Web of Science

CEP obor

—

OECD FORD obor

10101 - Pure mathematics

Projekt

GJ18-01472Y: Limity grafů a nehomogenní náhodné grafy

Návaznosti

I - Institucionalni podpora na dlouhodoby koncepcni rozvoj vyzkumne organizace

Rok uplatnění

2020

Kód důvěrnosti údajů

S - Úplné a pravdivé údaje o projektu nepodléhají ochraně podle zvláštních právních předpisů

Název periodika

Journal of Mathematical Analysis and Applications

ISSN

0022-247X

e-ISSN

—

Svazek periodika

484

Číslo periodika v rámci svazku

2

Stát vydavatele periodika

US - Spojené státy americké

Počet stran výsledku

12

Strana od-do

123754

Kód UT WoS článku

000509426500020

EID výsledku v databázi Scopus

2-s2.0-85076318752